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惊人的答案:平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1

数学常数最令人着迷的就是,它们常常出现在一些看似与之毫不相干的场合中。 随便取一个 0 到 1 之间的数,再加上另一个 0 到 1 之间的随机数,然后再加上一个 0 到 1 之间的随机数……直到和超过 1 为止。一个有趣的问题:平均需要加多少次,才能让和超过 1 呢?答案是 e 次。惊人的答案:平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1为了证明这一点,让我们先来看一个更简单的问题:任取两个 0 到 1 之间的实数,它们的和小于 1 的概率有多大?容易想到,满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积,因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。类似地,三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ,它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系,通过简单的积分求得:
       ∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6惊人的答案:平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1    可以想到,四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”,它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体,在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”
       ∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24
    依此类推, n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ,反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ,因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是
       (1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
    因此,要想让和超过 1 ,需要累加的期望次数为
       ∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

来源:
http://www.mostlymaths.net/2010/08/and-e-appears-from-nowhere.html